Continuitas (mathematica)
Appearance
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Graph_of_example_function.svg/250px-Graph_of_example_function.svg.png)
Continuitas in topologia est functio realis dominii super intervallo reali continua est, si graphum functionis stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.
Definitio pro functionis realibus[recensere | fontem recensere]
Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:
- Regula Epsilon-Delta[1]: continua in est, si
omnibus est , ut omnibus numeris dominii , qui obtemperent
, valeat . - Regula sequentiarum[2]: est continua in , si, cum quaelibet sequentia posita est, quae ad convergit, etiam ad convergit.
Functio appellatur continua in , si est continua in locis omnibus dominii.
Si est , ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.
Exempla[recensere | fontem recensere]
- Functiones et continuae sunt in .
- Functio signi
in omnibus locis continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes non est. - Functio Dirichlet
- ubique discontinua est.
Illustratio functionum discontinuarum:
-
Functio discontinua
-
Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere
-
Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere
Definitio pro functionis spatiorum topologicorum[recensere | fontem recensere]
Est defintio usitata:
- Regula copiarum apertarum: Sint et spatia topologica, functio et . continua in est, si pro qualibet circumiecta a est circumiecta a , ut sit.[3]
Theoremata[recensere | fontem recensere]
- Si functiones et continuae in dominio communi sunt, tum et et et continuae super sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus ut ) sint, tum et continua est.
- Compositio duarum functionum continuarum est continua.
- Continuitas functionis inversae:
- Si est intervallum in et est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli sub est intervallum ,
est biiectiva, et functio inversa est continua.
- Theorema valorum omnium acceptorum:
- Si est functio continua, cui et valet, tum omnibus numeris est , ut valeat.
- Item in casu et .
- Theorema extremitatum acceptarum:
- Si est functio continua, tum sunt numeri , ut
- omnibus numeris valeat.
Nexus interni
- Analysis mathematica
- Functio differentiabilis
- Limes (mathematica)
- Polynomium
- Theoria copiarum
- Topologia
Notae[recensere | fontem recensere]
- ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
- ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212
- ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage, Teubner 2012. ISBN 3-835-10208-7, pagina 230