Perfectio quadri

Perfectio quadri est ars algebrae elementariae in qua possumus reponere hanc expressionem

$x^{2}+bx$

cum

$(x+c)^{2}+d$

Presse habemus:

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\end{matrix}}$

Quadro perfacto, ulla formula cum quadratico polynomiale reduci ad unam cum quadratico polynomiale quadrato et constante potest.

Exemplum

Exemplum facile est:

$x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4$

Nunc, difficilius exemplum adest in hoc antiderivativum inveniendo:

$\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}.$

Denominator est

$9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241.$

Addendo (10/2)² = 25 to x² - 10x dat quadrum perfectum x² - 10x + 25 = (x - 5)². Ita invenimus

$9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16.$

Sine integrale nostrum esse:

$\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C.$

Nexus interni

Nexus externus

Perfectio quadri apud PlanetamMathematicam